Una convolución muy útil y unas derivadas ilustres

  • Carlos Enrique Mejía Salazar Universidad Nacional de Colombia sede Medellín

Resumen

Este artículo trata sobre operadores de molificación discreta y sobre derivadas fraccionarias. Los operadores de molificación se definen a partir de convoluciones con núcleos gaussianos truncados, tanto en una como en dos dimensiones. Iniciamos con una descripción de sus orígenes y de sus principales propiedades y después consideramos en detalle dos aplicaciones que indican lo útiles que son estos operadores. Las aplicaciones se basan en ecuaciones diferenciales parciales difusivas con derivadas temporales fraccionarias. Estas derivadas merecen el calificativo de ilustres como se verá más adelante. La primera aplicación consiste en la solución estable de un problema inverso de advección-dispersión, con derivada temporal fraccionaria, en el que la concentración es desconocida en la frontera de un dominio unidimensional semi-infinito. La segunda aplicación es la solución estable de un problema inverso bidimensional de identificación de un término fuente en una ecuación de difusión con derivada temporal fraccionaria. En cada caso se incluye la descripción del problema, la implementación de la molificación, el método de solución y algunos experimentos numéricos. Para el problema en dos dimensiones incluímos resultados recientemente enviados para publicación.

 

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Acosta, C. D. & Bürger, R. (2012). Difference schemes stabilized by discrete mollification for degenerate parabolic equations in two space dimensions, IMA J. Numer. Anal. 32:1509-1540.

Acosta, C. D., Bürger, R., Mejía, C. E. (2012). Monotone difference schemes stabilized by discrete mollification for strongly degenerate parabolic equations, Numer. Meth. Partial Diff. Eqns. 28: 38-62.

Acosta, C. D., Bürger, R., Mejía, C. E. (2014). A stability and sensitivity analysis of parametric functions in a sedimentation model, DYNA Vol. 81 (183): 22-30.

Acosta, C. D. Bürger, R., Mejía, C. E. (2015). Efficient parameter estimation in a macroscopic traffic flow model by discrete mollification, Transportmetrica A: Transport Science. 11 (8): 702-715.

Acosta, C. D. & Mejía, C. E. (2014). Stable computations by discrete mollification, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia. p. 108.

Acosta, C. D. & Mejía, C. E. (2008). Stabilization of explicit methods for convection diffusion equations by discrete mollification. Computers Math. Applic. 55: 368-380.

Benson, D. A., Wheatcraft, S. W., Meerschaert M. M. (2000). Application of a fractional advection-dispersion equation. Water Resources Research. 36: 1403-1412.

Diethelm, K. (2010). The analysis of fractional differential equations. An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type. Berlin, Springer. p. 247.

Echeverry, M. D. (2018). Fractional differential equations and inverse problems. Tesis de Doctorado en preparación, Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.

Echeverry, M. D. & Mejía, C. E. (2018). A two dimensional discrete mollification operator and the numerical solution of an inverse source problem. Axioms. 7 (4): 89. Doi: 0.3390/axioms7040089

Fomin, S., Chugunov, V., Hashida, T. (2010). Application of fractional differential equations for modeling the anomalous diffusion of contaminant from fracture into porous rock matrix with bordering alteration zone. Transp. Porous Med. 81: 187-205.

Friedrichs, K. O. (1944). The identity of weak and strong extensions of differential operators. Trans. AMS. 55: 132-151.

Garshasbi, M. & Dastour, H. (2015). Estimation of unknown boundary functions in an inverse heat conduction problem using a mollified marching scheme. Numer. Algor. 68:769-790.

Guo, B., Pu, X., Huang, F. (2015). Fractional partial differential equations and their numerical solutions. New Jersey, World Scientific. p. 336.

Hao, D. N. (1994). A mollification method for ill-posed problems. Numer. Math. 68: 469-506.

Li, Z. & Fu, C. (2011). A mollification method for a Cauchy problem for the Laplace equation. Applied Mathematics and Computation. 217: 9209-9218.

Ma, Y.-K., Prakash, P., Deiveegan, A. (2018). Generalized Tikhonov methods for an inverse source problem of the time-fractional diffusion equation. Chaos, Solitons and Fractals. 108: 39-48.

Manselli, P. & Miller K. (1980). Calculations of the surface temperature and heat flux on one side of a wall from measurements on the opposite side. Ann. Math. Pura Appl. 123: 161-183.

Mejía, C. E. (2007). Sobre el método de molificación. Trabajo presentado como requisito parcial para promoción a profesor titular, Medellín, Universidad Nacional de Colombia.

Mejía, C. E., Acosta, C. D., Saleme, K. (2011). Numerical identification of a nonlinear diffusion coefficient by discrete mollification. Computers Math. Applic. 62: 2187-2199.

Mejía, C. E. & Murio, D. A. (1995). Numerical identification of diffusivity coefficient and initial condition by discrete mollification. Computers Math. Applic. 30: 35-50.

Mejía, C. E. & Murio, D. A. (1996). Numerical solution of generalized inverse heat conduction problem by discrete mollification. Computers Math. Applic. 32: 33-50.

Mejía, C. E. & Piedrahita, A. (2019). A numerical method for a time fractional advection-dispersion equation with a nonlinear source term. J. Appl. Math. Comput. Doi: 10.1007/s12190-019-01266-x

Mejía, C. E. & Piedrahita, A. (2017). Solution of a time fractional inverse advection-dispersion problem by discrete mollification. Revista Colombiana de Matemáticas. 51 (1):83-102.

Mejía, C. E. & Piedrahita, A. (2018). A finite difference approximation of a two dimensional time fractional advectiondispersion problem. https://arxiv.org/abs/1807.07393

Miller, K. S. & Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. New York, John Wiley & Sons. p. 366.

Murio, D. A. (1993). The mollification method and the numerical solution of ill-posed problems. New York, Estados Unidos. John Wiley and Sons. p. 254.

Murio, D. A. (2002). Mollification and space marching. En K. Woodbury (ed.), Inverse Engineering Handbook. Boca Raton, Estados Unidos. CRC Press. p. 466.

Murio, D. A. (2007). Stable numerical solution of a fractionaldiffusion inverse heat conduction problem. Computers Math. Applic. 53: 1492-1501.

Murio, D. A. (2008). Implicit finite difference approximation for time fractional diffusion equations. Computers Math. Applic. 56: 1138-1145.

Murio, D. A. & Mejía, C. E. (2008a). Generalized time fractional IHCP with Caputo Fractional Derivatives, Journal of Physics: Conference Series. 135: 012074. Una convolución muy útil y unas derivadas ilustres 571 doi: http://dx.doi.org/10.18257/raccefyn.767

Rev. Acad. Colomb. Cienc. Ex. Fis. Nat. 43(168):563-571, julio-septiembre de 2019 Murio, D. A. & Mejía, C. E. (2008b). Source Terms Identification for Time Fractional Diffusion Equation. Revista Colombiana de Matemáticas. 42 (1): 25-46.

Oldham, K. B. & Spanier, J. (2006). the fractional calculus. Theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order. Mineola, New York, Estados Unidos. Dover Publications. p. 234.

Podlubny, I. (1999). Fractional differential equations. Academic Press. p. 340. Sakamoto, K. & Yamamoto, M. (2011). Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems. J. Math. Anal. Appl. 382: 426-447.

Shi, C., Wang, C., Wei, T. (2016). Convolution regularization method for backward problems of linear parabolic equations. Applied Numerical Mathematics. 108: 143-156.

Zhan, S. & Murio, D. A. (1999). Surface fitting and numerical gradient computations by discrete mollification. Computers Math. Applic. 37: 85-102.

Zhan, S., Coles, C., Murio, D. A. (2001). Automatic numerical solution of generalized 2-D IHCP by discrete mollification, Computers Math. Applic. 41: 15-38.

Publicado
2019-09-25
Cómo citar
Mejía Salazar, C. E. (2019). Una convolución muy útil y unas derivadas ilustres. Revista De La Academia Colombiana De Ciencias Exactas, Físicas Y Naturales, 43(168), 563-571. https://doi.org/10.18257/raccefyn.767
Sección
Matemáticas